Οδηγίες

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015 - 2016

3 - 2 - 2016

Συνάρτηση

Στην καθημερινή μας ζωή υπάρχουν μεγέθη που δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο.π.χ η αύξηση της τιμής του πετρελαίου δεν εξαρτάται από την εξωτερική θερμοκρασία των Ν. Μουδανιών στις 12.00 το μεσημέρι.Υπάρχουν όμως μεγέθη που εξαρτώνται το ένα από το άλλο.Τέτοια είδαμε στο φύλλο εργασίας. Θυμίζω : " Από ένα κιλό ελιές βγάζουμε 0,2 κιλά λάδι. Πόσα κιλά λάδι βγάζουμε από 5 κιλά ελιές , από 10 κιλά ελιές κ.ο.κ" Μελετήσαμε έτσι την εξάρτηση των μεγεθών κιλά ελιές - κιλά λάδι. ( Βρείτε το στα "Έγγραφα" στον υποφάκελο "Συναρτήσεις").

Συνάρτηση είναι η διαδικασία που εκφράζει την εξάρτηση δύο μεγεθών. Παρουσιάζεται συνήθως με μια ισότητα δύο μεταβλητών με την οποία συνδέονται( αντιστοιχίζονται) οι τιμές του ενός ποσού x  με τις τιμές του άλλου y.

Στη δραστηριότητα 1 που λύσαμε στο φύλλο εργασίας η συνάρτηση που συνδέει τα κιλά λάδι ( y) με τα κιλά ελιές (x) είναι y = 0,2x.

Για κάθε τιμή του x ( κιλά ελιές ) μπορούμε να αντιστοιχίσουμε μία τιμή για τα κιλά λαδιού (y)  π.χ για x = 2  y =0,2 . 2 = 0,4.

Συνάρτηση = Εξάρτηση μεγεθών = Αντιστοίχιση τιμών.


11 - 11 - 2015

Προσέξτε την παρακάτω άσκηση :










10 - 11 - 2015

Για το διαγώνισμα θα διαβάσετε :

Θεωρία

Παράγραφος 1.1 
Τι είναι μεταβλητή , αριθμητική παράσταση , αλγεβρική παράσταση

Παράγραφος 1.2
Τι είναι εξίσωση  ( επίσης πρώτος- δεύτερο μέλος , γνωστοί - άγνωστοι όροι)
Πως μεταφέρουμε όρους από το ένα μέλος στο άλλο
Βήματα επίλυσης εξισώσεων

Ασκήσεις

Παράγραφος 1.1 
Αναγωγή ομοίων όρων
Απλοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων ( επιμεριστική ιδιότητα και αναγωγή ομοίων όρων)
Υπολογισμός αριθμητικών τιμών παραστάσεων
Αλγεβρικές παραστάσεις που εκφράζουν την περίμετρο τετραπλεύρων , ορθογωνίων ή τετραγώνων.

Παράγραφος 1.2
Επίλυση εξισώσεων
Αδύνατες εξισώσεις - Ταυτότητες.


9 - 11 - 2015


Για το πρόχειρο διαγώνισμα α΄ τριμήνου υπενθυμίζω ότι η ύλη αφορά τις παραγράφους 1.1 και 1.2 της Άλγεβρας. Παραδείγματα κι ασκήσεις μπορείτε να βρείτε στα φυλλάδια ασκήσεων της Ηλεκτρονικής Σχολικής Τάξης καθώς κι εδώ στις Οδηγίες  λίγο παρακάτω στις αναρτήσεις με ημερομηνίες : 

21-10-2014 , 22-10-2014 , 24-10-2014 , 8/11/2014 , 13/11/014 , 20-10-2015 , 5-11-2015



5 - 11 - 2015

Για την απαλοιφή παρονομαστών στο πρώτο βήμα επίλυσης εξισώσεων α΄ βαθμού ακολουθούμε τα εξής:

1. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών.
2. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π
3. Απλοποιούμε κάθε παρονομαστή κλάσματος με το Ε.Κ.Π

Ας δούμε παρακάτω ένα παράδειγμα :










20 - 10 - 2015


Aναγωγή ομοίων όρων 

3 φουντούκια  +  5 φουντούκια  =  8 φουντούκια
3       x              +  5        x              =  8     x


Παραδείγματα :  3x + 4x = 7x 
                             5x - 9x = - 4x
                             4x - 5y + 2x - 6y - 3x = 4x + 2x  - 3x -5y - 6y = 3x - 11y
                


15 - 10 - 2015

Αριθμητική  ----->  Αριθμοί

Άλγεβρα ------> Μεταβλητές


Μεταβλητή είναι ένας αριθμός που μπορεί να μεταβάλλεται. Την συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου(π.χ  : x , y , α, β , ω  κ.α.).

Αλγεβρική παράσταση είναι μία παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών
 ( π.χ : 3  + x - y).

Προσέξτε τα παρακάτω παραδείγματα :

1. Σε ένα αγρόκτημα ζουν 30 κατσίκια και πρόβατα.

     Αριθμός των κατσικιών :  x    ( μεταβλητή)
     Αριθμός προβάτων :  30 - x    (αλγεβρική παράσταση).


2. Ο Νίκος είναι κατά 5 εκατοστά ψηλότερος από τον Κώστα.

      Ύψος Νίκου :   x          ( μεταβλητή)
      Ύψος Κώστα :  x - 5    (αλγεβρική παράσταση).



13- 10 - 2015

Στο παρακάτω Link μπορείτε να βρείτε το τεστ που γράψαμε στις ιδιότητες δυνάμεων λυμένο!!Μπορείτε να το δείτε και να επαληθεύσετε τις λύσεις που δώσατε με τις προτεινόμενες.

Τεστ στις δυνάμεις


9 - 10 - 2015

Την επόμενη εβδομάδα θα γράψουμε τεστ στις δυνάμεις. Υπενθυμίζω τι πρέπει να διαβάσετε :

1. Τις ιδιότητες των δυνάμεων και τους ορισμούς δυνάμεων με αρνητικό εκθέτη για θεωρία.
2. Για ασκήσεις : α. Υπολογισμό δυνάμεων με αρνητική βάση , αρνητικό εκθέτη και με αρνητική βάση και αρνητικό εκθέτη. β. Μετατροπή παραστάσεων σε ισοδύναμες με μία δύναμη εφαρμόζοντας τις ιδιότητες δυνάμεων.

Για τη μελέτη σας θα σας βοηθήσουν οι οδηγίες και τα παραδείγματα που θα βρείτε παρακάτω σε αυτή τη σελίδα στις ημερομηνίες 15 - 1- 2014 , 7-10 - 2014 , 3 - 10 - 2014 , 30 - 9 - 2014 , 25 - 9 - 2014 , 24 - 9 - 2014. Αφορούν οδηγίες που έδωσα την περσινή σχολική χρονιά αλλά φέτος αφορούν κι εσάς και θα σας βοηθήσουν! Καλή μελέτη!


ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 - 2015


22/4/2015

Επίκεντρη γωνία λέγεται η γωνία που η κορυφή της βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου.

Αντίστοιχο τόξο μιας επίκεντρης γωνίας λέγεται το τόξο που περιέχεται στην επίκεντρη γωνία.

Κάθε επίκεντρη γωνία έχει τις ίδιες μοίρες με το αντίστοιχο τόξο της.

Εγγεγραμμένη γωνία λέγεται η γωνία που η κορυφή της είναι πάνω στον κύκλο κι οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο.

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της επίκεντρης που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο μαζί της κι έχει τις μισές μοίρες από το αντίστοιχο τόξο της.





1/12/2014

Για να επιλύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξισώσεων ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

1. Βρίσκουμε τα δεδομένα του προβλήματος , το ζητούμενο και τα υπόλοιπα άγνωστα στοιχεία του.
2. Συμβολίζουμε με x το ζητούμενο και εκφράζουμε με τη βοήθεια του x  τα υπόλοιπα άγνωστα στοιχεία.
3. Σχηματίζουμε μια βοηθητική ισότητα που παριστάνει τη σχέση που συνδέει τα άγνωστα στοιχεία.
4. Μετατρέπουμε τη βοηθητική ισότητα σε εξίσωση και την λύνουμε.
5. Επαληθεύουμε το αποτέλεσμα που βρήκαμε.


13/11/014

Αδύνατες εξισώσεις - Ταυτότητες


Η εξίσωση 0x = 7 είναι αδύνατη. Δεν έχει δηλαδή καμία λύση , γιατί δεν υπάρχει αριθμός που αν πολλαπλασιαστεί με το μηδέν μας δίνει γινόμενο ίσο με 7.

Η εξίσωση 0x = 0 είναι ταυτότητα. Έχει δηλαδή άπειρες λύσεις και μάλιστα όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Πράγματι κάθε αριθμός αν πολλαπλασιαστεί με το μηδέν μας δίνει γινόμενο ίσο με το μηδέν. Άρα κάθε πραγματικός αριθμός είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης.

ΠΡΟΣΟΧΗ : Η εξίσωση 7x = 0 δεν είναι ούτε αδύνατη , ούτε ταυτότητα. Έχει μοναδική λύση που βρίσκεται αν διαιρέσουμε κανονικά με το συντελεστή του αγνώστου που είναι το 7.


8/11/2014

Βήματα επίλυσης εξίσωσης 1ου βαθμού :

1. Απαλοιφή παρονομαστών.  ( Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης και στα δύο μέλη επί το Ε. Κ.Π.)

2. Απαλοιφή παρενθέσεων. ( Γίνεται με την εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας ή με τον κανόνα απαλοιφής παρενθέσεων όταν μπροστά της υπάρχει πρόσημο - ή +. Βλέπε στο μάθημα με ημερομηνία 18 - 9 - 2014 πιο κάτω).

3. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.

Ας δούμε παρακάτω μια μυθοπλασία για την καλύτερη απομνημόνευση της διαδικασίας του χωρισμού γνωστών από αγνώστων για την εξίσωση : 2x - 5- x = 9 - 4x + 7. 


Οι όροι 2x ,- 5 , -x , 9 , -4x, 7 αποφάσισαν να κάνουμε ένα ρίβερ πάρτυ στις όχθες του ποταμού Ίσον. Τοποθετήθηκαν σε διάφορα σημεία και στις δύο όχθες του.
2x - 5 - x = 9 - 4x + 7. Τελικά μετά από αλλεπάλληλους καβγάδες μεταξύ τους ήταν αδύνατο να συνυπάρξουν όροι διαφορετικών πεποιθήσεων. Αποφάσισαν λοιπόν να χωριστούν σε ομοειδείς ομάδες. Στην αριστερή όχθη θα κάτσουν μόνοι άγνωστοι όροι και στη δεξιά οι γνωστοί. Ένας βαρκάρης υπήρχε κατά μήκος του ποταμού Ίσον. Όποιος όρος μεταφερόταν από τη μία όχθη στην άλλη πλήρωνε ως αντάλλαγμα στον βαρκάρη που τον περνούσε απέναντι τι λέτε; Την αλλαγή του προσήμου του. Καταδεχόταν να αλλάξει το πρόσημό του και μόνο τότε ο βαρκάρης τους περνούσε στην άλλη μεριά. Όσοι τώρα δεν χρειαζόταν να αλλάξουν όχθη αλλά παρέμεναν σταθεροί κι ακλόνητοι στη θέση τους δεν είχαν δοσοληψίες με τον βαρκάρη-μεταφορέα. Εκείνοι ήταν οι τυχεροί γιατί το πρόσημό τους δεν το πείραζε κανείς. Έμενε το ίδιο κι απαράλλακτο! Έτσι σε λίγο κατανεμήθηκαν διαφορετικά :
2x - x + 4x = + 5 + 7 - 9
Από τότε δεν μάλωσαν πια καθόλου. Πέρασαν ένα βράδυ υπέροχα δίπλα στο ποτάμι!


4. Αναγωγή ομοίων όρων.

5. Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.



Παράδειγμα :    Να λύσετε την εξίσωση :  3( x - 4) - 2( 1 - x) = x + 2

Λύση : 3( x - 4) - 2( 1 - x) = x + 2

3x - 12 - 2 + 2x = x + 2   (Κάναμε απαλοιφή παρενθέσεων εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα).

3x + 2x - x = 2 + 12 + 2   ( Xωρίσαμε γνωστούς από αγνώστους ΠΡΟΣΟΧΗ : Όροι που παραμένουν στο ίδιο μέλος δεν αλλάζουν πρόσημο. Όροι που μετακινούνται από το ένα μέλος στο άλλο , αλλάζουν πρόσημο).

4x  = 16         ( Κάναμε αναγωγή ομοίων όρων).


4x         16  
---  =   ----                 ( Διαιρέσαμε με τον συντελεστή του αγνώστου που είναι το 4).
 4          4 


x  = 4 



24 - 10 - 2014

Εκτέλεση πράξεων :

Για να απλοποιήσουμε αλγεβρικές παραστάσεις , εκτελούμε τις πράξεις με την παρακάτω σειρά:

1. Επιμεριστική ιδιότητα
2. Αναγωγή ομοίων όρων.

Παραδείγματα

1. Να απλοποιήσετε την παράσταση : 3 ( x - 4) - 4x + 7

Λύση. 1ο βήμα : Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα. 

3 ( x - 4) - 4x + 7 = 3x - 12 - 4x + 7

2o βήμα : Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

3 ( x - 4) - 4x + 7 = 3x - 12 - 4x + 7 = 3x - 4x - 12 + 7 = -1x - 5 = -x - 5


2. Δίνεται η παράσταση : Α = 2 ( 3x - 5) + x - 5 ( 2 - x) - 9
    α.  να την απλοποιήσετε   , β.  να υπολογίσετε την τιμή της όταν x = 4

Λ ύση  α.  Α =  2 ( 3x - 5) + x - 5 ( 2 - x) - 9 = 6x - 10 + x - 10 + 5x - 9 = 6x + 1x + 5x - 10 - 10 - 9 = 12x - 29

β. Για να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης  για x = 4  , θα θέσουμε όπου x τον αριθμό 4 στην τελική απλοποιημένη μορφή της Α.

Α = 12x - 29 = 12 . 4 - 29 = 48 - 29 = 19

Άρα η τιμή της παράστασης Α  για x =4  είναι 19.



22 - 10 - 2014

Αναγωγή ομοίων όρων

Παραδείγματα

3x + 2x = 5x
4α + 3α + 7α = 14α
4x - 3x + 2x = 3x
3x + 5x - 10x = -2x

5α + 3α + 4β - 6α + 3β - 10β = 5α + 3α - 6α + 4β + 3β - 10β = 2α - 3β


21 - 10 - 2014

Η έννοια της μεταβλητής.

1. Υπάρχουν αριθμοί που είναι σταθεροί και δεν μεταβάλλονται.
Υπάρχουν όμως και αριθμοί που μεταβάλλονται και ονομάζονται μεταβλητές. Μια μεταβλητή τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα του ελληνικού ή λατινικού αλβαβήτου. π.χ  : α, β , γ , ω , x , y , z , t  κλπ.

2. Αριθμητική παράσταση είναι μία παράσταση που περιέχει αριθμούς και σύμβολα πράξεων.
   π.χ : 5 . ( 6 + 7) - 2 . 3

3. Αλγεβρική παράσταση είναι μία παράσταση που περιέχει αριθμούς , σύμβολα πράξεων και μεταβλητές. π.χ  : 3 . x + 2 . α - 7


ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Να εκφράσετε με αλγεβρικές παραστάσεις τις εκφράσεις :

Το τριπλάσιο ενός αριθμού :                                     3 . x
Ένας αριθμός αυξημένος κατά 9  :                           x + 9
Το διπλάσιο ενός αριθμού ελαττώνεται κατά 3 :    2 . x -3


15 - 10 - 2014

Δυνάμεις με αρνητικό εκθέτη.

   -ν           1
α         =  --------
               ν
                α



   α      -ν                 β        ν
( ---- )           = (  -------- )
  β                          α





7 - 10 - 2014

5. Για να υψώσουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη αφήνουμε τη βάση ίδια και πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.

Ιδιότητες δυνάμεων.

         μ         ν               μ + ν         
1.  α     .   α         =    α


           μ       ν               μ - ν         
2.  α     :   α         =    α


                   ν                ν        ν
3.   ( α . β )           =  α    .   β


                   ν            ν      ν
4.  ( α : β )        =  α   :  β

                   
           μ   ν                μ . ν
5.  (α     )          =   α


3 - 10 - 2014

3. Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε παράγοντά του σε αυτόν τον εκθέτη.

4. Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε ένα εκθέτη υψώνουμε κάθε όρο του σε αυτόν τον εκθέτη.

Παραδείγματα στις ιδιότητες των δυνάμεων :

   4        6            10                   11        7            4            4       4                  4            4
2     .  2        =  2               ,   5        :  5      =  5          ,   3   .  7      = ( 3 . 7 )      =  21


    3          3                       3           3
45     :  9       =  ( 45 : 9 )       =  5



30 - 9 - 2014

Ιδιότητες δυνάμεων 

1. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο δυνάμεις με την ίδια βάση ,  αφήνουμε τη βάση ίδια και προσθέτουμε τους εκθέτες.

2. Για να διαιρέσουμε δύο δυνάμεις με την ίδια βάση , αφήνουμε τη βάση ίδια και αφαιρούμε τους εκθέτες.


25 - 9 - 2014

Παρατήρηση.

                         6
Η δύναμη (- 4 )       είναι θετικός αριθμός γιατί έχει βάση αρνητικό αριθμό κι εκθέτη άρτιο (ζυγό).

                                         6
Η παράσταση όμως  - 4       είναι αρνητικός αριθμός  γιατί το μείον μπροστά δεν ανήκει στην βάση της δύναμης αλλά είναι το πρόσημο του αριθμού που δηλώνει ότι πρόκειται για αρνητικό αριθμό.

                            7                       7                                 126                    126
Παρομοίως ( - 3)       < 0 και  - 3      < 0. Ακόμη (- 5 )            > 0   ,  - 5              < 0


24 - 9 - 2014

Δυνάμεις

Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός.

Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό κι εκθέτη άρτιο ( ζυγό) είναι θετικός αριθμός.

Δύναμη  με βάση αρνητικό αριθμό κι εκθέτη περιττό ( μονό) είναι αρνητικός αριθμός.

Παραδείγματα :

       2         
(-2)         =  ( -2) ( -2)  =  4


        3
(-2)      =   ( -2) ( -2) (-2) =  - 8



19 - 9 - 2014

Προτεραιότητα πράξεων 

1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις
2. Δυνάμεις
3. Πολλαπλασιασμοί - Διαιρέσεις
4. Προσθέσεις - Αφαιρέσεις.

Δοκιμάστε να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων :


α. 4 . (-7) - 21: (-7)+3 . 6
β. 2. ( 5 - 7 )+ (12 - 20 ): ( - 4)
γ. 3 . 5 - 2 . (-6- 4 )+32 : ( -8)
δ. 11 . (-4) +20 : (-5)+36 :(-9)-6 . (-4)
ε. (-8+4-7+12). ( - 5 ) +(9-15):(-3)


18 - 9 - 2014

Aπαλοιφή παρενθέσεων :

1. Όταν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το πρόσημο συν (+) , απαλοίφουμε την παρένθεση και το συν και γράφουμε όλους τους όρους όπως είναι. 
π.χ : +( -3 + 7 - 6 + 9) = -3 + 7 - 6 +9


2.  Όταν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το πρόσημο μείον (-) , απαλοίφουμε την παρένθεση και το μείον και γράφουμε όλους τους όρους με αλλαγμένα πρόσημα. 
 π.χ : -(-3 +7 - 6 + 9) = + 3 - 7 + 6 - 9

ΘΕΜΑΤΑ  ΓΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ :

1.  Βρείτε δύο αριθμούς με άθροισμα μηδέν και γινόμενο - 64.

2. Συμπληρώστε τα κενά ( τελίτσες) με τα πρόσημα που λείπουν ώστε να ισχύουν οι ισότητες :

α.    ......  9 -  15 =  - 6

β.    ..... 8 ...... 7 = - 15

γ.      - 6 ....... 6  = -12

δ.     ......... 5 ........   7 = + 2


17 - 9 - 2014

Παιδιά σας εύχομαι καλή σχολική χρονιά με υγεία και πρόοδο!

Θυμίζω τους κανόνες προσήμων για τις πράξεις θετικών κι αρνητικών αριθμών.

1.  Στην πρόσθεση βάζουμε το πρόσημο του μεγαλυτέρου και προσθέτουμε τους όρους όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι , ενώ τους αφαιρούμε όταν είναι ετερόσημοι.
     π.χ :  -7 + 11 = +3
             + 7 - 11 = -3
             -7 - 11 = -18

2. Στο πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση ισχύουν οι παρακάτω κανόνες προσήμων :
      + . - =  -               + . + = + 
     - . + =  -                 - . - = +

  


ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013 - 2014


10 - 4 - 2014

Για όλη την Β΄ τάξη γυμνασίου.

Για την εργασία στη στατιστική που θα ετοιμάσετε μετά το Πάσχα θυμίζω μερικά στοιχεία :


1η σελίδα : Εξώφυλλο. Περιλαμβάνει τον τίτλο της εργασίας σας και μια εικόνα σχετική με το θέμα που επιλέξατε.

2η σελίδα. Πρόλογος. Ένα κείμενο από 3 έως 10 σειρές. Εδώ    πρέπει να λέτε ότι η δημοσκόπηση  έγινε  στο γυμνάσιο   Σημάντρων ,ότι ρωτήθηκαν 20 μαθητές σχετικά με το   θέμα που επιλέξατε. Μπορείτε στη συνέχεια να εξηγήσετε τους λόγους για τους οποίους επιλέξατε το συγκεκριμένο θέμα και τυχόν κοινωνικές προεκτάσεις του. Mπορείτε βέβαια να ρωτήσετε και περισσότερους από 20 μαθητές του σχολείου μας. Επίσης όσοι επιλέξετε να αναρτήσετε το ερώτημα στο Face Book - και βλέπω ότι είστε αρκετοί - θα έχετε ακόμη μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος. Ακόμη καλύτερα! Θέλω όμως τότε να αναγράφεται στον πρόλογο ότι το ερώτημα τέθηκε και στο Face Book.

3η σελίδα : Πίνακας συχνοτήτων. Ένα παράδειγμα πίνακα συχνοτήτων είναι το παρακάτω :



Ποδοσφαιρική ομάδα

Αριθμός μαθητών

Σχετική συχν.

Σχετική συχν. %

ΠΑΟΚ

    12

      0,24

        24

ΑΡΗΣ

     8

      0,16

         16

ΠΑΟ

    10 

       0,2

         20

ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ

      5

     0,1

         10

ΑΕΚ

      6

      0,12

         12

ΗΡΑΚΛΗΣ

       9

      0,18

         18

ΣΥΝΟΛΟ

    50

        1

         100










 

Η σχετική συχνότητα υπολογίζεται διαιρώντας την κάθε συχνότητα δια το σύνολο (μέγεθοςτου δείγματος).

 π.χ   12 : 50 = 0,24

         8 : 50  = 0,16  κ.λ.π.

Η σχετική επί τοις εκατό συχνότητα υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας κάθε σχετική συχνότητα επί  το 100.

π.χ 0,24 Χ 100 = 24.

4η σελίδα : Ραβδόγραμμα. Θα το κατασκευάσετε σε χαρτί μιλιμιτρέ σε οριζόντιο προσανατολισμό. Κάθε μεγάλο τετραγωνάκι του τετραγωνισμένου χαρτιού θα το μετράτε ως 10.


5η σελίδα : Κυκλικό διάγραμμα. Θυμίζω τον τύπο :

γωνία = 360 Χ σχετική συχνότητα. 

Στον πίνακα του προηγούμενου παραδείγματος η γωνία που θα αντιστοιχεί στον ΠΑΟΚ  υπολογίζεται από την πράξη :

360 Χ 0,24 = 86,4 με στρογγυλοποίηση 86 μοίρες.

Για τον Άρη η αντίστοιχη γωνία υπολογίζεται :

360 Χ 0,16 = 57,6 με στρογγυλοποίηση 58 μοίρες. κ.λ.π.


6η σελίδα. Επίλογος. Εδώ καταγράφονται τα συμπεράσματα - αποτελέσματα της έρευνας. 

Στο προηγούμενο παράδειγμα ως συμπεράσματα μπορούμε τα πούμε τα εξής :

Η πλειοψηφία των μαθητών με ποσοστό 24% επέλεξαν ως αγαπημένη τους ομάδα τον ΠΑΟΚ. Η ομάδα που συγκέντρωσε το μικρότερο ποσοστό προτίμησης είναι ο Ολυμπιακός. Ακολουθεί ως δεύτερη επιλογή με σχετικά μικρή διαφορά από την πρώτη ο ΠΑΟ με ποσοστό 20%.


25 - 9-  2013

Β2
Για το επόμενο μάθημα να θυμηθείτε τους κανόνες προσήμων.

Θυμίζω : 
1. Βάζουμε πάντα το πρόσημο του μεγαλυτέρου.         
2. αν οι αριθμοί έχουν ίδιο πρόσημο κάνουμε πρόσθεση π.χ -7 - 4 = - 11 
3. αν οι αριθμοί έχουν διφορετικά πρόσημα κάνουμε αφαίρεση π.χ -7 + 4= -3.


Στον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών ισχύουν οι παρακάτω κανόνες προσήμων :

+ .+ = +
- . - = +

+.- = -
- . + = -

Η προτεραιότητα των πράξεων είναι :
1. Πράξεις στις παρενθέσεις
2. Δυνάμεις
3. Πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις
4. Προσθέσεις - αφαιρέσεις.

Για το επόμενο μάθημα έχετε τις ασκήσεις από τα φύλλα εργασίας που σας έδωσα.
Τα φύλλα εργασίας θα τα βρείτε παρακάτω :

Πρόσθεση ρητών 1

Πρόσθεση ρητών 2

23-9-2013

Β1
Στον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών ισχύουν οι παρακάτω κανόνες προσήμων :

+ .+ = +
- . - = +

+.- = -
- . + = -

Η προτεραιότητα των πράξεων είναι :
1. Πράξεις στις παρενθέσεις
2. Δυνάμεις
3. Πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις
4. Προσθέσεις - αφαιρέσεις.

Για το επόμενο μάθημα έχετε να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων :

α. 4 . (-7) - 21: (-7)+3 . 6
β. 2. ( 5 - 7 )+ (12 - 20 ): ( - 4)
γ. 3 . 5 - 2 . (-6- 4 )+32 : ( -8)
δ. 11 . (-4) +20 : (-5)+36 :(-9)-6 . (-4)
ε. (-8+4-7+12). ( - 5 ) +(9-15):(-3)


13-9-2013


Καλή η νέα σχολική χρονιά.
Εύχομαι υγεία και καλή πρόοδο!

Για το επόμενο μάθημα καλό είναι να θυμηθείτε τους κανόνες προσήμων 
στην πρόσθεση ρητών αριθμών.

Θυμίζω : 
1. Βάζουμε πάντα το πρόσημο του μεγαλυτέρου.         
2. αν οι αριθμοί έχουν ίδιο πρόσημο κάνουμε πρόσθεση π.χ -7 - 4 = - 11 
3. αν οι αριθμοί έχουν διφορετικά πρόσημα κάνουμε αφαίρεση π.χ -7 + 4= -3.

Για το επόμενο μάθημα έχετε τη άσκηση 2 από το φύλλο εργασίας που σας μοίρασα και τις ασκήσεις 1, 2 από το δεύτερο φυλλάδιο : ΑΣΚΗΣΕΙΣ που σας μοίρασα.

Κάνοντας κλικ παρακάτω θα βρείτε τα φύλλα εργασίας με τις ασκήσεις που έχετε.


Πρόσθεση ρητών 1

Πρόσθεση ρητών 2




ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010 - 2011


24 - 9 - 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ
         ΑΠΟ ΤΗΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ


1. Όταν σε μια παράσταση σημειώνονται πολλές πράξεις ισχύει η παρακάτω προτεραιότητα πράξεων :

α.  Πράξεις στις παρενθέσεις
β.  Δυνάμεις
γ.  Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις
δ   Προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Παράδειγμα :    ( 3+5 * 7 ) : 2 + 24 : 8-5 =
                        =  ( 3 +35 ) :2 + 24 : 8 - 5 =
                         = 38 : 2 + 24 :8 - 5 =
                           = 19 + 3 -5 = 22 - 5 = 17

2.   Ισχύουν οι εξής κανόνες πράξεων θετικών και αρνητικών αριθμών :

  α. Στην πρόσθεση βάζουμε πάντοτε το πρόσημο του μεγαλύτερου αριθμού και κάνουμε πρόσθεση  όταν οι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημαο , ενώ κάνουμε αφαίρεση αν έχουν διαφορετικό :

Παράδειγμα :   - 5 + 8 = +3
                          - 6 +4 = -2
                          -4 - 8 = - 12
                            7 - 13 = - 6

Στον πολλαπλασιασμό και την διαίερεση ισχύουν οι παρακάτω κανόνες προσήμων :

-* + =  -                           - : + = -

+ * - =  -                        + : - = -  

+ * + = +                       + : + = +

- * - = +                         - : - = +

Παράδειγμα :    ( - 3) * 7= -21                    ,      ( - 21) : 3 = -7
                           6 * ( -3 ) = - 18                  ,       36 : ( -6 ) = -6    
                           ( - 5 ) * (-7) = +35             ,      ( - 54) : ( -9) = 6     


3. Για τις πράξεις κλασμάτων θυμίζω ότι ομώνυμα χρειάζονται στην πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων . Η διαίρεση μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό αφήνοντας το πρώτο κλάσμα ίδιο και αντιστρέφοντας το δεύτερο κλάσμα.

                       Παράδειγμα :    1          3           1        5           5
                                               ---    :   ----   =   ----  *  ------  =   -------
                                                2           5          2          3          6



28 - 9 - 2010


Mεταβλητή ονομάζουμε έναν αριθμό που μπορεί να μεταβάλλεται και να παίρνει όποια τιμή θέλουμε εμείς. Τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου. ( π.χ : α , β , γ ,x ,y,z,ω ,r , t  κ.α).


Αριθμητική παράσταση είναι μια παράσταση που  περιέχει πράξεις με αριθμούς. (π.χ  : 2*(5+4)-12)

Αλγεβρική παράσταση είναι μια παράσταση που  περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές .
( π.χ : 2*χ-(5+α)-4 )

Παράδειγμα : Να βρείτε την τιμή της παράστασης : Α = 2*(x -2) +6  , όταν χ = 5.

Λύση :  Α= 2 * ( 5 - 2) +6 = 2 * 3 +6 = 6 + 6 = 12




1 - 10 - 2010

ΒΗΜΑΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ

1 Απαλοίφουμε τους παρονομαστές πολλαπλασιάζοντας με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών.

2. Απαλοίφουμε τις παρενθέσεις ( συνήθως με την επιμεριστική ιδιότητα).

3. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ( Δες στην ανάρτηση : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΥΘΟΠΛΑΣΙΑ στον υποτομέα ΠΡΟΣΧΗΜΑΤΙΚΗ ΜΥΘΟΠΛΑΣΙΑ την 2 περίπτωση ).

4. Αναγωγή ομοίων όρων.

5.  Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου

Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση :  2 * ( x-1 ) + 5 = 3x  - 1

Λύση : 2 *x- 2*1 + 5 = 3x -1 <=> 2x - 2 + 5 = 3x- 1<=> 2x - 3x = 2 - 5 -1 <=> -1x = -4 <=> x = 4



5 - 10 - 2010


Υπενθυμίζω την επιμεριστική ιδιότητα :

α (β + γ ) = αβ + αγ και  α ( β - γ ) = αβ - αγ



29 - 10 - 2010

Το μήνυμα που μου έστειλε συμμαθητή σας , το πήρα κι ευχαριστώ!

Υπενθυμίζω ότι η θεωρία που πρέπει να γνωρίζετε βρίσκεται στα τρία γαλάζια πλαίσια του μαθήματος 1.5.

Παραδείγματα :  α. Μπορούμε να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό στα μέλη μιας ανισότητας :

Αν  5>2 τότε και 5+3 >2+3. Πράγματι 8 > 5.

β.  Ομοίως και στην  αφαίρεση :   9 > 6 τότε 9-4 > 6-4 . Πράγματι : 5>2.

γ. Στον πολλαπλασιασμό :

αν πολλαπλασιάζουμε με θετικό αριθμό δεν αλλάζει η φορά.

7 > 3 τότε 7*2 > 3 * 2. Πράγματι :  14 > 6.

Όμως  όταν πολλαπλασιάζουμε αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά:

 7 >3 τότε 7*(-2) < 3 *(-2) Πράγματι : -14 <-6

δ. Στην διαίρεση παρομοίως όπως στον πολλαπλασιασμό :
12>4   => 12 : 4 > 4 :4 δηλαδή 3 >1.
Όμως :  12 > 4 =>  12 : ( -4 ) < 4 : ( -4 )  δηλαδή  -3 < -1

Ερωτήσεις κατανόησης
Να χαρακτηρίσετε ως Σ ή Λ τις προτάσεις :

1.  Αν α>β τότε   α-5< β-5 ( είναι λάθος διότι όταν αφαιρούμε και στα δύο μέλη δεν αλλάζει η φορά).

2.  α <2 τότε  3α< 6  ( είναι σωστή διότι όταν πολλ/ζω με θετικό δεν αλλάζει η φορά).

3. Αν χ < 5 τότε -2χ< -10 ( Λάθος γιατί πολλαπλασιάσαμε με -2 και έπρεπε να αλλάξει η φορά).


1-11-2010

Για το διαγώνισμα πολύ καλά απο θεωρία τα γαλάζια πλαίσια της παραγράφου 1.5 σελ 31-32. Τόσο τους κανόνες όσο και τις σχέσεις με τα α,β,γ.
Επίσης ερωτήσεις κατανήσης του βιβλίου σωστου -λάθους  , συμπλήρωσης κενών.
Επίσης λίγο πιο πίσω στην ανάρτηση της 29-10-2010 θα βρείτε στοιχεία θεωρίας , παραδείγματα και ερωτήσεις σωστού λάθους.

Από ασκήσεις μελετήστε προσεκτικά τις 3 πρώτες εφαρμογές του βιβλίου σελ 35-36.

Ιδιαίτερη προσοχή στο τελευταίο βήμα όταν ο συνταλεστές του αγνώστου είναι αρνητικός. Τότε αλλάζει η φορά
                                                    3χ       9
Παραδείγματα : α. 3χ>9  <=>   ----- > ------  <=>  χ   > 3
                                                     3        3

                                        -3χ           9
β. Όμως  -3χ>9  <=>    -------  <  ---------  <=>   χ< -3
                                          -3             -3


Επίσης προσχή στην γραφική παρουσίαση των λύσεων μια ανίσωσης  σε μια ευθεία. Οι εφαρμογές του βιβλίου είναι κατατοπιστικές. Τέλος επισημαίνω ότι μια ανίσωση έχει άπειρες λύσεις τις οποίες γεωμετρικά τις παριστάνουμε καλύτερα με την ευθεία που λέγαμε προτύτερα.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου